Mathetic Lab
集合と論理
集合論
- 集合
- 外延的記法・内包的記法
- 集合の演算
- 和集合
- 共通部分
- 差集合
- 補集合
- 集合族とその操作
- 二項関係
- 写像
- 同値関係と商集合
- 順序集合
- 帰納的極限と射影的極限
- 整列集合
- ZF公理系と選択公理
数理論理学
代数学
線形代数学
- 平面と空間のベクトル
- 行列
- 置換
- 行列式とその性質
- 行列式の展開
- 連立一次方程式
- 行列式の積
- 数ベクトル空間
- 数ベクトル空間
- 線形独立・基底・次元
- 次元定理
- 体上のベクトル空間
- 体上のベクトル空間
- 基底と次元
- 線形写像
- 次元定理
- 行列の標準化
- 固有値と固有ベクトル
群論
- 群の定義と性質
- 部分群
- 正規部分群と剰余群
- 群の準同型定理
- 群の作用
- Sylowの定理
環論･可換環論
- イデアル論
- イデアルの定義と性質
- イデアルの商と剰余環
- イデアルの生成
- 単項イデアル、素イデアル、極大イデアル
- イデアルの分解
- 加群論
- $R$-加群
- $R$-加群の定義
- $R$-線形写像
- Hom加群
- $R$-加群の核と余核の定義と普遍性
- $R$-加群の完全系列
- $R$-加群の直和
- 直和の定義と普遍性
- 射影加群、入射加群
- $R$-加群のテンソル積
- テンソル積の定義と普遍性
- 平坦加群
- ネーター環論
- ネーター環の定義と性質
- ネーター加群の定義と性質
- ネーター環のイデアルの性質
- ネーター環のイデアルの分解
体論
- 体の定義と性質
- 体の拡大
- 代数的拡大と超越拡大
- 代数的閉体
- ガロア理論
代数的整数論
- 整数環
- 代数的整数
- 整数環のイデアル
- イデアルの分解
- イデアル類群
ホモロジー代数学
- 蛇の補題
- $5$ 補題
- 短完全列 $\to$ 長完全列
- Ext関手
- Tor関手
- 導来関手
- 前層、茎、層、芽
- コホモロジー
- アーベル圏
- 加法圏
射影幾何学
- 射影平面
- 射影空間
- 射影変換
- 射影幾何学の基本定理
代数幾何学
- アフィン多様体
- 射影多様体
- 代数多様体
- 代数曲線
- 代数曲面
表現論
- 群の表現
- 代数群の表現
- リー群の表現
- リー環の表現
圏論
- 圏の定義
- 関手の定義
- 自然変換の定義
- 圏の極限と余極限
- アーベル圏
- 導来関手
環論
加群
解析学
微分積分学
- 数列
- 実数の絶対値
- 上限・下限
- 数列の極限値
- 上極限・下極限
- 級数
- 実数
- デデキント切断を用いた実数の構成
- 数列の極限
- コーシー列を用いた実数の構成
- 実数の連続性に関する命題の同値性
- 関数
- 関数
- 関数の極限値
- 連続関数、関数の連続性
- 有界閉区間とその上の連続関数
- 微分法
- 微分係数、導関数
- 高階導関数
- 導関数の性質①
- 微分可能性
- 平均値の定理
- テイラーの定理
- 積分法
- リーマン積分
- リーマン積分の性質
- 可積分条件
- 連続関数の積分可能性
- 微分積分学の基本定理
- 置換積分、部分積分、広義積分
- 積分の応用
- 関数列
- 一様収束
- 一様収束の性質
- 広義一様収束
- 多変数関数と偏微分
- 偏導関数、全微分可能性
- 高階偏導関数
- テイラー展開
- 多変数関数の極大・極小
- 級数、べき級数
- 級数
- べき級数
- 絶対収束、条件収束
- 二重級数
- 無限乗積
- 連分数
- 陰関数の定理
- 逆写像定理、陰関数の定理
- 多変数関数の極値
- 平面曲線、接平面
- 重積分
- 重積分・累次積分
- 曲線･曲面
- 曲線
- 曲面積
- 線積分・面積分
- グリーンの定理、ガウスの定理、ストークスの定理
- その他
- ガンマ関数
- 広義リーマン積分
- 2変数関数のテイラー展開
- 各点収束・一様収束・絶対収束
- ガウス積分
複素解析
- 複素数
- 複素数の定義と性質
- 複素平面と極形式
- 複素数の指数関数、三角関数、双曲線関数
- 複素関数
- 複素関数の定義と性質
- 正則関数、コーシー・リーマンの方程式
- 解析接続、孤立特異点
- 積分論
- 複素積分の定義と性質
- コーシーの積分定理、コーシーの積分公式
- ローラン展開、留数定理
- 収束級数
- べき級数、テイラー展開、ローラン展開
- 収束半径、収束円板
- 一様収束、絶対収束
- 特殊関数
- ガンマ関数、ベータ関数
- リーマンゼータ関数、ディリクレL関数
常微分方程式
- 常微分方程式の定義と性質
- 一階常微分方程式
- 変数分離形
- 同次形
- 線形形
- ベルヌーイ形
- 高階常微分方程式
- 線形微分方程式の定義と性質
- 定数係数線形微分方程式
- 変数変換法、級数解法、ラプラス変換法
フーリエ解析
- フーリエ級数展開
- フーリエ変換
- ラプラス変換
ルベーグ積分論
- ルベーグ積分の定義と性質
- 可測関数
- ルベーグ積分の収束定理
関数解析
- ヒルベルト空間
- バナッハ空間
- 線形作用素
- スペクトル理論
偏微分方程式
- 偏微分方程式の定義と性質
- 一次偏微分方程式
- 二次偏微分方程式
解析的整数論
- 素数定理
- リーマンゼータ関数
- ディリクレ級数
偏微分方程式論
- 偏微分方程式の定義と性質
- 一次偏微分方程式
- 二次偏微分方程式
幾何学
位相空間論
- 位相空間の定義と性質
- 開集合・閉集合・内点・外点・境界点
- 連結性・コンパクト性
- 連続写像と同相写像
- 基底と準基底
- 距離空間と位相空間
- 完備距離空間と完備化
位相幾何学
- 位相同値とホモトピー
- ホモロジー群とコホモロジー群
- 基本群と被覆空間
- CW複体とセル複体
多様体論
- 多様体の定義と性質
- 微分可能多様体と滑らかな写像
- 接空間と接ベクトル場
- リーマン計量と測地線
- 微分形式と外微分
- ストークスの定理とグリーンの定理
微分幾何学
- 曲線と曲率
- 曲面とガウス曲率
- リーマン多様体とリーマン計量
- リーマン曲率テンソルとリッチ曲率テンソル
- リーマン幾何学の応用